Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} )}$ é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento ${\displaystyle a_{i,j}}$ duma matriz é o escalar ${\displaystyle A_{i,j}}$ definido por

$${\displaystyle A_{i,j}\ =(-1)^{i+j}|M_{ij}|\,,}$$

em que ${\displaystyle M_{i,j}}$ representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Tem-se então que

$${\displaystyle \det(A)=a_{i,1}A_{i,1}+a_{i,2}A_{i,2}+...+a_{i,n}A_{i,n}}$$

ou

$${\displaystyle \det(A)=a_{1,j}A_{1,j}+a_{2,j}A_{2,j}+...+a_{n,j}A_{n,j}}$$

ou

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ),}$$

conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

in wikipedia