Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} )}$ é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).

O cofator do elemento ${\displaystyle a_{i,j}}$ duma matriz é o escalar ${\displaystyle A_{i,j}}$ definido por

$${\displaystyle A_{i,j}\ =(-1)^{i+j}|M_{ij}|\,,}$$

em que ${\displaystyle M_{i,j}}$ representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.

Tem-se então que

$${\displaystyle \det(A)=a_{i,1}A_{i,1}+a_{i,2}A_{i,2}+...+a_{i,n}A_{i,n}}$$

ou

$${\displaystyle \det(A)=a_{1,j}A_{1,j}+a_{2,j}A_{2,j}+...+a_{n,j}A_{n,j}}$$

ou

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ),}$$

conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.

in wikipedia

Matriz adjunta

A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz transposta da matriz que se obtém substituindo cada termo ${\displaystyle {A}_{i,j}}$ pelo determinante da matriz resultante de retirar de A a linha i e a coluna j (isso é, o determinante menor) multiplicado por ${\displaystyle {(-1)}^{i+j}}$ (isso é, alternando os sinais).

Matrizes 2x2

Para toda matriz de ordem 2:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$

As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes ${\displaystyle K^{n\times n}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (I)=I}$, em que ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade.

${\displaystyle \operatorname {adj} (0)=0}$, em que 0 é a matriz nula.

${\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\cdot \operatorname {adj} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (A^{T})=\operatorname {adj} (A)^{T}}$

${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)}$ em que ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-2}A}$, para o caso particular de ${\displaystyle A}$ ser ${\displaystyle 2\times 2}$ resulta em ${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A}$

Determinação da matriz inversa

om a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A} )}}.}$

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Observação: Alguns matemáticos desaconselham a notação acima em favor da seguinte:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ).}$

Vale reforçar que só é inversível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

in: wikipedia

Lei dos grandes números

in wikipédia

Gaussian Dristribution Function

Desigualdade de Chebychev

in : wikipédia

Covariância

in : wikipédia

Binomial Distribution Function

Poisson Distribution Function

The Hamiltonian

Time Dependent Schrodinger Equation

Time Independent Schrodinger Equation

Probability in Quantum Mechanics

Constraints on Wavefunction

Eigenvalues and Eigenfunctions

Time Evolution Postulate

Expectation Value Postulate

Basis Set Postulate

Hermitian Property Postulate

The Operator Postulate

The Wavefunction Postulate

Uncertainty Principle

Wave Function Properties

Expectation Values